Kurzfassung
Es wird ein Verfahren vorgestellt, Quantenfeldtheorien auch bei endlicher
Temperatur durch eine Folge von Blockspin Renormierungsgruppen
Transformationen zu studieren.
Dabei erhält man effektive Theorien, die auf immer gröberen Gittern leben.
Das letztendliche Ziel ist die Berechnung des "constraint effective potential",
d.h. der freien Energie als Funktion von geeigneten Ordungsparametern.
An der freien Energie lässt sich das thermodynamische Verhalten
der Theorie ablesen, insbesondere die Existenz und Ordnung von
Phasenübergängen.
Bei endlicher Temperatur startet man mit einer Transformation
oder einer Folge von Transformationen,
die die ursprüngliche Theorie in eine effektive drei-dimensionale
Gittertheorie überführt.
Deren effektive Wirkung hat temperaturabhängige Koeffizienten.
Anschließend kann man mit weiteren Blockspin Transformationen fortfahren.
Im Fall endlichen Volumens kann dies solange fortgesetzt werden bis
man bei einem Gitter mit nur noch einem Gitterpunkt landet.
Die zugehörige effektive Wirkung ist das "constraint effective potential".
In jedem RG-Schritt müssen die hochfrequenten Feldanteile, das
sog. Fluktuationsfeld, im Funktionalintegral ausintegriert werden.
Dies wird hier störungstheoretisch gemacht, und erfordert die Kenntnis
der nackten Feldpropagatoren und des Interpolationsoperators, der in die
Vertices eingeht.
Eine detailierte Untersuchung dieser Größen wird für das skalare
Feld, das abelsche Eichfeld und für das Higgs-Feld vorgestellt,
einschließlich der Situation bei endlicher Temperatur.
Die Gitterstörungstheorie ist kompliziert, weil die nackten
Gitterpropagatoren kompliziert sind.
Dies resultiert aus dem Verlust der vollen Translationsinvarianz bei
den einzelnen RG-Schritten.
Es werden deshalb auch translationsinvariante "cutoff"-Verfahren
anstelle der Gitterregularisierung untersucht.
Im Falle von Eichfeldern ist das nur als eine Kontinuumsversion des
Blockspinverfahrens möglich.
A procedure is proposed to study quantum field theories at zero or at finite temperature by a sequence of real space renormalization group (RG) or blockspin transformations. They transform to effective theories on coarser and coarser lattices. The ultimate aim is to compute constraint effective potentials, i.e. the free energy as a function of suitable order parameters. From the free energy one can read off the thermodynamic behaviour of the theory, in particular the existence and nature of phase transitions. In a finite temperature field theory one begins with either one or a sequence of transformations which transform the original theory into an effective theory on a three-dimensional lattice. Its effectiv action has temperature dependent coefficients. Thereafter one may proceed with further blockspin transformations of the three-dimensional theory. Assuming a finite volume, this can in principle be continued until one ends with a lattice with a single site. Its effective action is the constraint effective potential. In each RG-step, an integral over the high frequency part of the field, also called the fluctuation field, has to be performed. This is done by perturbation theory. It requires the knowledge of bare fluctuation field propagators and of interpolation operators which enter into the vertices. A detailed examination of these quantities is presented for scalar fields, abelian gauge fields and for Higgs fields, finite temperature is admitted. The lattice perturbation theory is complicated because the bare lattice propagators are complicated. This is due to a partial loss of translation invariance in each step. Therefore the use of translation invariant cutoffs in place of a lattice is also discussed. In case of gauge fields this is only possible as a continuum version of the blockspin method.